MATEMATIKA 9

Mreža in površina prizme

Na fotografijah vidiš znameniti zvonik v Kamniku pred obnovo in po njej. Katere podatke so zagotovo potrebovali pri obnovi zvonika?

Namig

Vidimo, da je bil zagotovo prenovljen oplesk zvonika. Tako so zagotovo potrebovali podatke o višini, širini in dolžini zvonika, ki spominja na kvader.

Rešitev

Za oplesk zvonika so potrebovali tudi dovolj fasadne barve. Ploskve, ki so jih opleskali, so plašč kvadra.

Seveda so pri prenovi porabili še veliko drugega gradbenega materiala.

Znaš izračunati površino kvadra. Veš, da je kvader prizma, in poznaš lastnosti poljubnih prizem. V nadaljevanju se boš naučil, kaj je mreža prizme in kako izračunamo površino pokončne prizme.

Ponovitev

1. Velikost osnovne ploskve kocke je . Izračunaj površino kocke.

Površina kocke je .

2. Prestavi pojme na ustrezno mesto.

3. Računsko utemelji, ali lahko iz pravokotnega kosa papirja z dolžinama stranic in izdelamo model kvadra z robovi z dolžinami , in .

Namig

Izračunaj površino kvadra in ploščino pravokotnega lista papirja.

Rešitev

Površina kvadra je .

Ploščina papirja je .

Modela kvadra ne moremo izdelati, saj je na voljo premalo papirja.

4. Izberi vsako pravilno trditev.

Šeststrana prizma ima osem mejnih ploskev.

Tristrana prizma ima stranske ploskve.

Štiristrana prizma ima osnovne ploskve.

Petstrana prizma ima dve osnovni ploskvi.

Mreža prizme

Na prikazu je model prizme. Opiši prizmo. Povleci označene točke in opiši, kaj ugotoviš.

Ugotovitev

Prikazana je -strana pokončna prizma, ki ima za osnovno ploskev trapez. S premikom označenih točk mejne ploskve prizme razgrnemo v ravnino. Dobimo mrežo prizme.

Zanimivost

Mrežo prikazane -strane prizme lahko narišemo tudi tako:

Namig

Nariši mrežo zgoraj prikazane prizme na list papirja. Izreži mrežo in sestavi prizmo. Mrežo primerjaj s sošolci.

Dopolni v pravilne trditve. Če je mogoče, zapiši manjkajočo besedo s številko.

Štiristrana prizma ima stranske ploskve. Stranske ploskve tvorijo prizme. Prizma ima osnovni ploskvi. Štiristrana prizma ima skupaj ploskev.

Na trši papir nariši mrežo pravilne pokončne tristrane prizme z dolžino osnovnega roba in višino . Mrežo izreži in sestavi model prizme. Model lahko prilepiš z eno mejno ploskvijo v zvezek.

Namig

Pravilna tristrana prizma ima za osnovni ploskvi enakostranična trikotnika.

Načrtovanje enakostraničnega trikotnika:

Rešitev

Ena od možnih mrež pravilne pokončne tristrane prizme in model prizme:

Zanimivost

Mreža pravilne tristrane prizme je lahko tudi drugačna.
Običajno mreže prizem rišemo tako, da se stranske ploskve (plašč) stikajo in tvorijo pravokotnik.
Na primer:

Ko vse mejne ploskve prizme razgrnemo v ravnino, nastane lik, ki je mreža prizme.

Zgled

Luka in Ana sta narisala mrežo tristrane prizme, ki ima za osnovno ploskev pravokotni trikotnik s katetama in . Dolžina višine prizme je . Nariši mrežo te prizme v zvezek in nato primerjaj z mrežama Luke in Ane. Kaj ugotoviš?

Luka

Ana

Ugotovitev

Ugotovimo, da Ana ni narisala pravilne mreže, saj iz njene mreže ne moremo sestaviti modela prizme.

Mejne ploskve prizme morajo biti v liku na ravnini pravilno razporejene, da je lik mreža prizme.

Zgled

Iz tršega papirja izdelaj mrežo in model visoke prizme, ki ima za osnovno ploskev enakokraki trapez z osnovnicama, dolgima in , ter krakoma dolžine . Pomagaj si s prikazanim modelom.

Namig

Načrtovanje enakokrakega trapeza:

Rešitev

Možna mreža:

Zgled

Vsako telo poveži z njegovo mrežo.

Dopolni trditve. Za števila vpiši številke. Pomagaj si z zgornjo sliko.

Pokončno tristrano prizmo omejuje ploskev, skladna in pravokotniki. Plašč pravilne šeststrane prizme sestavlja skladnih.

Zgled

Pomagaj Mihi dokončati mrežo -strane prizme.

Zgled

Izberi vsako pravilno trditev za pokončno prizmo.

Mreža tristrane prizme je iz samih trikotnikov.

Plašč tristrane prizme je iz samih pravokotnikov.

Mreža tristrane prizme je iz dveh trikotnikov in treh pravokotnikov.

Površina prizme

Lan je na pravokotni list papirja narisal mrežo prizme (na sliki). Mrežo želi izrezati in sestaviti v prizmo z višino in dolžino osnovnega roba . Izračunaj dolžino in širino pravokotnega kosa papirja, iz katerega bo izrezal mrežo prizme. Izračunaj ploščino mreže prizme. Kateri količini v prizmi je enaka ploščina mreže?

List papirja

Glede na sliko je dolžina lista papirja enaka obsegu osnovne ploskve, . Širina papirja je enaka vsoti višine prizme (dolžina stranskega roba) in dveh višin osnovnih ploskev, kjer je .

Dolžina lista: .
Širina lista:
.

Ploščina mreže je vsota ploščin posameznih likov v mreži. Mreža pravilne tristrane prizme je sestavljena iz dveh osnovnih in stranskih. Ploščina mreže je enaka prizme.

Površina prizme je enaka ploščini mreže. Površino prizme lahko izračunamo s formulo.

V zvezek izračunaj, najmanj koliko papirja potrebuje Lan za izdelavo modela prizme.

Namig

Osnovna ploskev prizme () je enakostranični trikotnik s ploščino . Plašč prizme je pravokotnik z dolžino in širino . Tako je .

Rešitev

Lan za izdelavo modela prizme potrebuje najmanj papirja.

Plašč pokončne prizme lahko v mreži oblikujemo v pravokotnik z dolžino, enako obsegu osnovne ploskve, in širino, enako višini prizme. Ploščino plašča izračunamo s formulo.

Namig

Bodi pozoren na uporabo oznak ploščine osnovne ploskve () in obsega osnovne ploskve ().

Zgled

Ploščina osnovne ploskve prizme je . Ploščina plašča prizme je . Izračunaj površino prizme.

Površina prizme je .

Zgled

Površina pravilne štiristrane prizme je . Ploščina plašča je . Izračunaj dolžino osnovnega roba in višino prizme.

Namig

Najprej izračunaj ploščino osnovne ploskve.

Rešitev

Pravilna štiristrana prizma

,

Zgled

Izberi formulo za površino -strane prizme.

Formula za površino -strane prizme je .

Pravilno.

Formula za površino -strane prizme je .

Napačno.

Formula za površino -strane prizme je .

Napačno.

Zgled

Izračunaj površino visoke prizme, ki ima za osnovno ploskev trapez s podatki: , in .

Namig

Za izračun ploščine enakokrakega trapeza (osnovne ploskve) potrebujemo podatek o višini trapeza. Višino trapeza izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka.

Mreža

Ena od možnih mrež:

Rešitev

Prizma

Osnovna ploskev (enakokraki trapez)

Pitagorov izrek v enakokrakem trapezu

Razlikuj med višino prizme in dolžino višine osnovne ploskve. Pazi na razliko med (ploščina osnovne ploskve) in (obseg osnovne ploskve).

Zgled

Najmanj koliko kartona potrebuje Marko za izdelavo nabiralnika v obliki pravilne šeststrane prizme? Nabiralnik bo visok , velikost roba osnovne ploskve bo .

Namig

Osnovna ploskev () pravilne šeststrane prizme je pravilni šestkotnik. Pravilni šeskotnik lahko razdelimo na šest enakostraničnih trikotnikov.

Skica

Rešitev

Pravilna šeststrana prizma

Zgled

Za izdelavo plašča pravilne devetstrane pokončne prizme smo potrebovali papirja. Prizma je visoka . Izračunaj dolžino osnovnega roba.

Dolžina osnovnega roba je .

Zgled

Velikost plašča enakorobe -strane prizme z dolžino osnovnega roba je .

Zgled

Narisana je mreža prizme. Uporabi računalniško orodje za prikaz ploščin likov in izračunaj površino prizme s prikazano mrežo. Izpišejo se podatki v . Dopolni trditve.

Prikazana je mreža prizme, ki ima za osnovno ploskev trikotnik.

Ploščina plašča prizme je .

Ploščina osnovne ploskve je .

Površina prizme je .

Povzetek

Mreža prizme nastane z razgrnitvijo mejnih ploskev prizme v ravnino. Mreža pokončne prizme je lik, sestavljen iz dveh skladnih večkotnikov ( osnovni ploskvi prizme ) in pravokotnikov, ki sestavljajo plašč prizme.

Oglej si nekaj možnih mrež različnih prizem.

Lik v ravnini je mreža prizme, če lahko iz lika oblikujemo model telesa. Ploščina mreže prizme je enaka površini prizme in je enaka vsoti ploščin vseh mejnih ploskev prizme.
Površino poljubne prizme izračunamo po formuli

kjer je ploščina osnovne ploskve prizme in je ploščina plašča prizme.

Plašč prizme lahko v mreži oblikujmo v pravokotnik. Dolžina pravokotnika je enaka obsegu osnovne ploskve. Širina pravokotnika je enaka višini prizme. Poglej primer za tristrano prizmo.

Oglej si primer za izračun površine enakorobe tristrane prizme.

Naloge

Izdelaj različne modele prizem. Za robove lahko uporabiš zobotrebce, za oglišča lahko uporabiš plastelin.

Namig

Plastelin oblikuj v majhne kroglice in v njih ustrezno zapiči zobotrebce.

Rešitev

Nekaj primerov modelov prizem:

Ali lahko iz narisane mreže sestaviš prizmo? Odgovor utemelji. Podatki so v .

Rešitev

Iz narisane mreže ne moremo sestaviti prizme. Označeni robovi niso skladni.

Dolžina osnovnega roba pravilne pokončne enakorobe -strane prizme je . Nariši mrežo prizme. Izračunaj površino prizme.

Mreža

Drugo ime za pravilno enakorobo -strano prizmo je kocka.

Površina

Pravilna enakoroba -strana prizma

Poveži prizmo z ustrezno mrežo.

Izračunaj velikost plašča pravilne tristrane prizme z osnovnim robom, dolgim , in višino .

Ploščina plašča je .

Iz tršega papirja izdelaj model hiše ali stanovanjskega bloka, v katerem stanuješ. Katere podatke potrebuješ?

Namig

Model izdelaj v ustreznem merilu, na primer za hišo .

Podatki

Potrebujemo podatke o dimenzijah hiše oziroma bloka (dolžino, širino, višino), velikosti oken, vrat ...

Izračunaj velikost šotorskega platna za izdelavo šotora. Mere šotora preberi s slike.

Namig

Osnovno ploskev razdelimo na like, ki jim znamo izračunati ploščino.
Dno šotora ni pokrito s šotorskim platnom.

Osnovna ploskev

Stranske ploskve

Ker v plašču te prizme ni ene ploskve (dna šotora), označimo plašč s . Velikost plašča je vsota ploščin strehe in stranskih ploskev šotora.

Rešitev

Pravilna -strana prizma in pravilna -strana prizma imata enako dolžino osnovnega roba ter enaki višini. Izberi pravilno razmerje velikosti plaščev obeh prizem.

Pravilno.

Napačno.

Zapiši formulo za površino pravilne -strane prizme z osnovnim robom in višino .

Rešitev

Kvader z dolžino , širino in višino prerežemo po diagonalah osnovnih ploskev. Nastaneta dve tristrani prizmi. Za koliko se razlikujeta vsota površin tristranih prizem in površina kvadra?

Namig

Kvader

Tristrana prizma

Rešitev

Razlika med vsoto površin tristranih prizem in površino kvadra je .

Nalogo rešimo tudi preprosteje.

Površina kvadra je od vsote površin dveh prizem manjša za ploščini dveh diagonalnih presekov kvadra. Ploščina diagonalnega preseka je . Ploščini dveh diagonalnih presekov sta tako .

Velikost plašča v enakorobi -strani prizmi je . Izračunaj dolžino osnovnega roba in površino prizme. Upoštevaj, da je .

Dolžina osnovnega roba je .
Površina prizme je .